2021~2022を素因数分解するといくつ?

2022を素因数分解するといくつ?

こんにちは。
中学受験コース算数科です。

来年は令和4年の西暦2022年。

算数科としてお届けする年の瀬の話題といえば西暦を扱った問題です。
今年もお届けします。

今年は2022年度入試で出題が予想される問題を多数用意してみました。

1. 2022を素因数分解すると?

まずは2022という数字に着目してみましょう。

梅干しを見ると唾液が出てくるのと同じように、算数科の人間は数字を見ると反射的に頭の中で素因数分解※してしまいます。

※素因数分解…正の整数を素数の積の形で表すこと

素因数分解をおこなえば、その数字が持つ性質を知ることができます。
2021は、2021=43×47と分解できました。
したがって、2021は43や47の倍数であることが分かります。

さて、2022を素因数分解するとどうなるでしょうか?

2. 2022を素因数分解するステップ

素因数分解をするときですが、次のようなステップで検討を進めていきます。

➀ 素数を順に書き出してみる
2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37 41 43 …
➁ 2から順に2022を割ってみる
➂ 順に割り算していき、割り切れた場合の商をさらに素因数分解していく

最後に商が素数になった時点で終了です。

2022÷2=1011
1011÷3=337

※ 337は素数なので、これで終わり。

素因数分解は、このような手順で進めていくしか方法はありません。

3. 2022を素因数分解すると?

2022は、いきなり2で割り切れます。
昨年度の2021=43×47のように「いくつになったら割り切れるのだろう…」という不安はありません。

その後、1011が登場しますが、これは、倍数の見分け方を使えば、3で割り切れることがすぐに分かりますね!

各位の数の和が3の倍数になるとき、その整数は3で割り切れる

最後に登場する337は、素数です。

337で終わる素因数分解、受験生を応援しましょう!

337ですから、こう覚えておきましょう!

三・三・七拍子♪

※ 337が素数であることは、エラトステネスのふるいの考え方を利用すれば、明らかです。
ここでは、その説明は省略いたします。
エラトステネスのふるいの考え方についてはこちらをご覧ください。

このように、素因数分解を通して、倍数の見分け方をふり返ることができます。
また、素数かどうかの判定も復習できますね!

4. 2022を使った入試予測問題

ここからは、2022年度の中学入試に出題が予想される2022という数字まつわる問題を紹介していきます。
皆さん、実際に問題を解いてみてくださいね。
まず、分数計算の問題です。

① 2022の分数計算の問題

分母に2、3、337が絡む問題

問題1

<解答>

② 2022の約数の個数に関する問題

約数はいくつあるか?
2022を割り切ることができる整数は、かけ算の答えが2022となる式を書いてみましょう。

1×2022
2×1011
3×674
6×337

こうなることを利用します。

2022の約数は次の8個!
1 2 3 6
337 674 1011 2022

これは、素因数分解 の指数に注目し、(1+1)×(1+1)×(1+1)=8個と求めることもできます。

これにもとづき、次のような問題が予想されます。

問題2

2022は約数が8個あります。
では、約数が8個ある自然数で小さい方から5番目を求めなさい。

<解答>
54
③ 2022の分数分解に関する問題

2022を20と22と分解してみることで、次のような典型問題も考えられます。

分数分解とは、

など、分解して立式することで計算の工夫につながる話題です。

例えば、次のような計算をするとき、上の性質を活用することですぐに答えが求まります。

問題3

<解答>

④ 周期算2022の問題

算数の単元名の中で周期算というものがあります。
あるきまりで数字や記号がならべられていて、そのN番目が何であるのかを調べたり、N番目までの数字を和を求めたりといった問題です。

下記の問題は、数字が2022になることで特別な技術が必要になるわけではありませんが、小問系の問題の中で出題が予想されます。

問題4

2×2×2のように2を3回かけた数の一の位は8です。
2を2022回かけた数の一の位はいくつになりますか。

<解答>
4
問5

を小数で表したとき、小数2022位の数はいくつですか。

<解答>
5

5. 2022のまとめ

算数では、西暦・元号に関連する問題が出題されることがあります。

今回は、その一部をご紹介しました。
今年の受験生は、2022=2×3×337であることは最低限、知っておいた方がよさそうです。

中学受験コースでは本年度、西暦・元号に関連する予想問題を冬期講習中に学習します。

最後までおつき合いいただき、ありがとうございます。
みなさま、良いお年をお迎えください。そして2022年もどうぞよろしくお願いします。

2021を素因数分解するといくつ?


令和3年は西暦2021年。
算数科としてお届けする年の話題は元号・西暦を使った問題です。

1.西暦2020年を素因数分解

東京オリンピックが開催された2021年ですが、大会名は東京2021ではなく、東京2020のままで行われました。

そんなことで、注目を浴びた1年の2021という数字に着目してみましょう。
梅干しを見ると唾液が出てくるのと同じように、算数科の人間は数字を見ると反射的に頭の中で素因数分解※してしまいます。

※素因数分解 正の整数を素数の積の形で表すこと

素因数分解をおこなえば、その数字が持つ性質を知ることができます。
2020は、2020=2×2×5×101と分解できました。
したがって、2020は2や5や101の倍数であることが分かります。

では、2021を素因数分解するとどうなるでしょうか?

2.2021を素因数分解する方法

まず、素因数分解をするときに、次のようなステップで検討を進めていきます。

➀素数を順に書き出してみる
→2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 …

➁2から順に2021を割ってみる

2021÷2=
2021÷3=
2021÷5=
2021÷7=
2021÷11=
‥‥‥‥‥‥‥‥

見つかりましたか?
順に割り算していき、割り切れた場合の商をさらに素因数分解していく。
そして、最後に素数が商になった時点で終了です。

素因数分解は、このような手順で進めていくしか方法はありません。

3.素数の発見法 エラトステネスのふるい

上記のように割り算していき、もし割り切ることができなければ、2021は「素数」となります。
※2021が素数であるかどうか、その結果は本記事の最後に記載します。

ここで素数かどうかを判定する場合、どの素数まで調査をすれば良いのか気になるところです。
そこで、次の「ふるい」という考え方を活用することになります。
エラトステネスのふるいと呼ばれる、素数を発見するために使われる方法です。
100以下の素数を、次のような方法で発見します。

2から100までの整数を書いてみます。
※1は素数ではないため、はじめから除外します。

➀2を残し、2の倍数をふるい落とします


②3を残し、3の倍数をふるい落とします


③5を残し、5の倍数をふるい落とします
④7を残し、7の倍数をふるい落とします

ここまでふるいに落とすことで、以下の整数が100以下の素数であることが分かります。

<根拠>
7の次の素数は11となります。
11の倍数は、11,22,33、…となりますが、
22=11×2 ←2の倍数で既にふるい落とされている
33=11×3 ←3の倍数で既にふるい落とされている
44=11×2×2 ←2の倍数で既にふるい落とされている
55=11×5 ←5の倍数で既にふるい落とされている
66=11×2×3 ←2の倍数で既にふるい落とされている
77=11×7 ←7の倍数で既にふるい落とされている
88=11×2×2×2 ←2の倍数で既にふるい落とされている
99=11×3×3 ←3の倍数で既にふるい落とされている
110=11×2×5 ←2の倍数で既にふるい落とされている
121=11×11 ←まだふるい落とされないでいる

したがって、7の倍数までふるいにかけることによって、121(11×11)未満の素数を発見できることができます。

4.2021の素因数分解の答え

エラトステネスのふるいの考え方を活用することで
「ある素数の倍数までをふるいにおとすことによって、その次の素数の平方数未満の素数を発見できる」ことが分かります。

よって、

43×43=1849<2021
47×47=2209>2021

を参考にすれば、43までの素数で割り切ることができなければ、2021は素数であることが確定します。

2021÷13=
2021÷17=
2021÷19=
2021÷23=
2021÷29=
2021÷31=
2021÷37=
2021÷41=
2021÷43=47

割り切れた!!!

43で割り切れなければ、素数確定でしたが、最後の最後で大逆転勝利!!!
(感動的!!!)
2021は素数ではなく、43と47の倍数であることが判明しました。

5.2021のまとめ

算数では、西暦・元号に関連する問題が出題されることがあります。
受験生は、2021=43×47であることは事前に知っておいた方がよさそうです。
中学受験コースでは、西暦・元号に関連する予想問題を作成していきます。
最後までおつき合いいただき、ありがとうございます。
みなさま良いお年をお迎えください。

執筆者:森島 拓也
国大Qゼミ中学受験コース 教務責任者

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