2021を素因数分解するといくつ? 中学受験に出る問題!

こんにちは。
中学受験コース算数科です。

2020年も残すところあとわずかですね。
中学受験コースは、入試直前学習の真っ最中です。
今年は例年にはない対応を求められる年となりました。
これにともない、従来型の学習のメリット・デメリットを検証し、新時代に向けた学習システムの構築を考えるきっかけになりました。
変えるべき事柄と変えてはならない事柄、これらをブラッシュアップしていきながら、さらなる教育サービスの向上に努めていきたいと考えております。

とくに中学受験は、公立高校の学力考査や大学の共通テストとは異なり、学校ごとに工夫を凝らし入試問題を作成しています。
その結果、専門性や難易度が高くなります。
そして小学生にわかりやすく指導すると同時に保護者への啓蒙活動も必要となります。
したがって教室運営の中にも、教務的な目線を入れていくことも必要と考えます。
効率や合理化の追求に惑わされない教育の質的向上!!!
これこそが2021年度の算数科のテーマです。

さて、来年は令和3年の西暦2021年。
算数科としてお届けする年の瀬の話題は、毎度のことながら「元号・西暦」を使って締めくくります。

西暦2021年

東京オリンピックが延期されましたね。
2021年の開催ですが、大会名は東京2021ではなく、東京2020のままで行われると決まっているようです。

さてそんな、注目1年の2021という数字に着目してみましょう。
梅干しを見ると唾液が出てくるのと同じように、算数科の人間は数字を見ると反射的に頭の中で素因数分解※してしまいます。

※素因数分解 正の整数を素数の積の形で表すこと

素因数分解をおこなえば、その数字が持つ性質を知ることができます。
2020は、2020=2×2×5×101と分解できました。
したがって、2020は2や5や101の倍数であることが分かります。

では、2021を素因数分解するとどうなるでしょうか?

素因数分解を行う方法

まず、素因数分解をするときに、次のようなステップで検討を進めていきます。

➀素数を順に書き出してみる
→2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 …

➁2から順に2021を割ってみる

 2021÷2=
 2021÷3=
 2021÷5=
 2021÷7=
 2021÷11=
 ‥‥‥‥‥‥‥‥

見つかりましたか?
順に割り算していき、割り切れた場合の商をさらに素因数分解していく。
そして、最後に素数が商になった時点で終了です。

素因数分解は、このような手順で進めていくしか方法はありません。

素数の発見法 エラトステネスのふるい

上記のように割り算していき、もし割り切ることができなければ、2021は「素数」となります。
※2021が素数であるかどうか、その結果は本記事の最後に記載します。

ここで素数かどうかを判定する場合、どの素数まで調査をすれば良いのか気になるところです。
そこで、次の「ふるい」という考え方を活用することになります。
エラトステネスのふるいと呼ばれる、素数を発見するために使われる方法です。
100以下の素数を、次のような方法で発見します。

2から100までの整数を書いてみます。
※1は素数ではないため、はじめから除外します。

➀2を残し、2の倍数をふるい落とします


②3を残し、3の倍数をふるい落とします  


③5を残し、5の倍数をふるい落とします
④7を残し、7の倍数をふるい落とします

ここまでふるいに落とすことで、以下の整数が100以下の素数であることが分かります。

<根拠>
7の次の素数は11となります。
11の倍数は、11,22,33、…となりますが、
22=11×2 ←2の倍数で既にふるい落とされている
33=11×3 ←3の倍数で既にふるい落とされている
44=11×2×2 ←2の倍数で既にふるい落とされている
55=11×5 ←5の倍数で既にふるい落とされている
66=11×2×3 ←2の倍数で既にふるい落とされている
77=11×7 ←7の倍数で既にふるい落とされている
88=11×2×2×2 ←2の倍数で既にふるい落とされている
99=11×3×3 ←3の倍数で既にふるい落とされている
110=11×2×5 ←2の倍数で既にふるい落とされている
121=11×11 ←まだふるい落とされないでいる

したがって、7の倍数までふるいにかけることによって、121(11×11)未満の素数を発見できることができます。

2021の素因数分解の答え

エラトステネスのふるいの考え方を活用することで
「ある素数の倍数までをふるいにおとすことによって、その次の素数の平方数未満の素数を発見できる」ことが分かります。

よって、

43×43=1849<2021
47×47=2209>2021

を参考にすれば、43までの素数で割り切ることができなければ、2021は素数であることが確定します。

2021÷13=
2021÷17=
2021÷19=
2021÷23=
2021÷29=
2021÷31=
2021÷37=
2021÷41=
2021÷43=47

割り切れた!!!

43で割り切れなければ、素数確定でしたが、最後の最後で大逆転勝利!!!
(感動的!!!)
2021は素数ではなく、43と47の倍数であることが判明しました。

さいごに

算数では、西暦・元号に関連する問題が出題されることがあります。
今年の受験生は、2021=43×47であることは事前に知っておいた方がよさそうです。
中学受験コースでは、本年度も「西暦・元号に関連する予想問題」を作成します。

最後までお付き合いいただき、ありがとうございます。
みなさま良いお年をお迎えください。
そして「43×47」年もどうぞよろしくお願いします。

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